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第6問

ABCABC を外接円 Γ\Gamma をもつ鋭角三角形とする。ℓ\ell を Γ\Gamma の接線とし、ℓa\ell_a, ℓb\ell_b, ℓc\ell_c をそれぞれ ℓ\ell を直線 BCBC, CACA, ABAB に関して反射して得られる直線とする。直線 ℓa,ℓb,ℓc\ell_a,\ell_b,\ell_c が定める三角形の外接円が円 Γ\Gamma に接することを示せ。
ステップ 6/6: 接する条件の恒等式を確認する
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

単位円の方程式を新しい円の方程式に代入すると、実数のただ一本の直線に帰着し、その直線が単位円にちょうど一点で接するのは、ある短い代数的恒等式が成り立つときに限られる。U とその共役の整った式がそれを即座に確認してくれる。

(1+V)2=4UUˉ(1+V)^2=4U\bar U
詳しい解説

zzˉ=1z\bar z=1（Γ\Gamma の方程式）を zzˉ+Uˉz+Uzˉ+V=0z\bar z+\bar Uz+U\bar z+V=0 に代入すると根軸 Uˉz+Uzˉ=−(1+V)\bar Uz+U\bar z=-(1+V) が得られる。この形の実の直線が単位円にちょうど接するのは (1+V)2=4UUˉ(1+V)^2=4U\bar U のときであり、これはまさに二つの円がただ一点で交わる、すなわち接する条件である。手順4と手順5で得た二つの式を掛け合わせると 4UUˉ=4⋅(tS−P)2t2Q2⋅(E−t)2=(2(tS−P)(E−t)tQ)2=(1+V)24U\bar U=4\cdot\dfrac{(tS-P)^2}{t^2Q^2}\cdot(E-t)^2=\left(\dfrac{2(tS-P)(E-t)}{tQ}\right)^2=(1+V)^2 となり、手順4で得た 1+V1+V の値とちょうど一致する。よって (1+V)2=4UUˉ(1+V)^2=4U\bar U が恒等的に成り立ち、A′B′C′A'B'C' の外接円は Γ\Gamma に接する。これが示すべきことであった。