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第1問

三角形 ABCABC の AA-傍心を JJ とする。この傍接円は辺 BCBC に MM で、直線 ABAB,ACAC にそれぞれ KK,LL で接する。直線 LMLM と BJBJ の交点を FF、KMKM と CJCJ の交点を GG とし、SS を直線 AFAF と BCBC の交点、TT を直線 AGAG と BCBC の交点とする。MM が STST の中点であることを示せ。
ステップ 3/5: 直線の交点から F と G を求める
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

斉次重心座標では、二点を通る直線も二直線の交点も三つ組の外積にすぎず、非零の共通因子をくくり出すと F と G はともに驚くほど整った座標に帰着する。

F=(a:a+c:−c),G=(a:−b:a+b)F=(a:a+c:-c),\quad G=(a:-b:a+b)
詳しい解説

斉次三つ組の外積により直線 LMLM と BJBJ の方程式を立て、その交点（再び外積）を求め、非零の共通因子 (s−b)(s−c)(s-b)(s-c) で割ると F=LM∩BJ=(a:a+c:−c)F=LM\cap BJ=(a:a+c:-c) が得られる。G=KM∩CJG=KM\cap CJ についての対称な計算（B,CB,C と b,cb,c を入れ替える）により G=(a:−b:a+b)G=(a:-b:a+b)、すなわち F=(a:a+c:−c),G=(a:−b:a+b)F=(a:a+c:-c),\quad G=(a:-b:a+b) が得られる。