MathLabs

第2問

n≥3n\ge3 を整数とし、正の実数 a2,a3,…,ana_2,a_3,\dots,a_n が a2a3⋯an=1a_2a_3\cdots a_n=1 を満たすとする。(1+a2)2(1+a3)3⋯(1+an)n>nn(1+a_2)^2(1+a_3)^3\cdots(1+a_n)^n>n^n を示せ。
ステップ 2/4: 重み付き AM-GM を適用する
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

x 1個と1 k-1個を釣り合わせる。

(1+x)k≥kk(k−1)k−1x(1+x)^k\ge\dfrac{k^k}{(k-1)^{k-1}}x
詳しい解説

x>0x>0 に重み付き AM-GM を x,1,…,1x,1,\dots,1 に適用すると (1+x)k≥kk(k−1)k−1x(1+x)^k\ge\dfrac{k^k}{(k-1)^{k-1}}x。等号は x=1/(k−1)x=1/(k-1) のときだけ。