第2問

n\ge3

を整数とし、正の実数

a_2,a_3,\dots,a_n

が

a_2a_3\cdots a_n=1

を満たすとする。

(1+a_2)^2(1+a_3)^3\cdots(1+a_n)^n>n^n

を示せ。

ステップ 3/4: 不等式を掛け合わせる

ざっくり言うと

定数は2からnまで望遠鏡式に消去される。

\prod_{k=2}^n(1+a_k)^k\ge\prod_{k=2}^n\dfrac{k^k}{(k-1)^{k-1}}a_k

詳しい解説

手順2を $x=a_k$ 、指数 $k$ に適用して $k=2,\dots,n$ で掛ける。変数因子の積は手順1より $1$ 。