第4問

f:\mathbb Z\to\mathbb Z

が、

a+b+c=0

を満たす任意の整数

a,b,c

に対し

f(a)^2+f(b)^2+f(c)^2=2f(a)f(b)+2f(b)f(c)+2f(c)f(a)

を満たすとする。すべての f を求めよ。

ステップ 1/5: 0 で正規化し対称性を使う

ざっくり言うと

零の三つ組で原点の値が定まり、続いて入力の符号反転に対して値が対称になる。

f(0)=0,\qquad f(-a)=f(a)

詳しい解説

$a=b=c=0$ とおけば $f(0)=0$ 。 $c=0$ 、 $b=-a$ とおけば $(f(a)-f(-a))^2=0$ となり、 $f$ は偶関数である。