MathLabs

第4問

f:Z→Zf:\mathbb Z\to\mathbb Z が、a+b+c=0a+b+c=0 を満たす任意の整数 a,b,ca,b,c に対し f(a)2+f(b)2+f(c)2=2f(a)f(b)+2f(b)f(c)+2f(c)f(a)f(a)^2+f(b)^2+f(c)^2=2f(a)f(b)+2f(b)f(c)+2f(c)f(a) を満たすとする。すべての f を求めよ。
ステップ 2/5: 零点は周期と二分岐を生む
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

一つの値が 0 になると、その入力が周期として伝播し、特別な三つ組が次の偶数入力を制御する。

f(a)=0⟹f(a+b)=f(b),f(2a)(f(2a)−4f(a))=0f(a)=0\Longrightarrow f(a+b)=f(b),\qquad f(2a)\bigl(f(2a)-4f(a)\bigr)=0
詳しい解説

f(a)=0f(a)=0 なら、(a,b,−a−b)(a,b,-a-b) と偶性から (f(b)−f(a+b))2=0(f(b)-f(a+b))^2=0、従って a は周期である。(a,a,−2a)(a,a,-2a) を代入すると f(2a)(f(2a)−4f(a))=0f(2a)(f(2a)-4f(a))=0。特に a=1a=1 では f(2)=0f(2)=0 または f(2)=4f(1)f(2)=4f(1) である。