第4問

f:\mathbb Z\to\mathbb Z

が、

a+b+c=0

を満たす任意の整数

a,b,c

に対し

f(a)^2+f(b)^2+f(c)^2=2f(a)f(b)+2f(b)f(c)+2f(c)f(a)

を満たすとする。すべての f を求めよ。

ステップ 3/5: 周期 2 の族

ざっくり言うと

f(2)=0 なら周期 2 により偶数入力はすべて 0、奇数入力はすべて同じ任意の値になる。

f(2)=0\Longrightarrow f(2t)=0,\ f(2t+1)=c

詳しい解説

前段より周期 2。 $f(0)=f(2)=0$ なので偶数入力はすべて 0、偶性により奇数入力は共通値 $c=f(1)$ となる。代入すれば任意の整数 c に対してこの族が確かめられる。