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第4問

f:Z→Zf:\mathbb Z\to\mathbb Z が、a+b+c=0a+b+c=0 を満たす任意の整数 a,b,ca,b,c に対し f(a)2+f(b)2+f(c)2=2f(a)f(b)+2f(b)f(c)+2f(c)f(a)f(a)^2+f(b)^2+f(c)^2=2f(a)f(b)+2f(b)f(c)+2f(c)f(a) を満たすとする。すべての f を求めよ。
ステップ 4/5: 非周期分岐は二次式
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

周期 2 の分岐でなければ、式は 1 からすべての正整数へ二次パターンを伝播する。

f(n)=cn2f(n)=cn^2
詳しい解説

f(2)=4f(1)f(2)=4f(1) とし c=f(1)c=f(1) とおく。c=0c=0 なら二次族の 0 の場合である。c≠0c\ne0 なら元の式に (a,b,c)=(1,n,−n−1)(a,b,c)= (1,n,-n-1) を代入して帰納すると、f(n+1)=(n+1)2cf(n+1)=(n+1)^2c または f(n+1)=(n−1)2cf(n+1)=(n-1)^2c の二択を得る。後者は (a,b,c)=(n+1,1−n,−2)(a,b,c)=(n+1,1-n,-2) を代入すると n>2 で不可能であり、初期の場合から f(3)=9cf(3)=9c が得られる。従ってすべての n で f(n)=cn2f(n)=cn^2、直接代入で検証できる。