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第4問

f:Z→Zf:\mathbb Z\to\mathbb Z が、a+b+c=0a+b+c=0 を満たす任意の整数 a,b,ca,b,c に対し f(a)2+f(b)2+f(c)2=2f(a)f(b)+2f(b)f(c)+2f(c)f(a)f(a)^2+f(b)^2+f(c)^2=2f(a)f(b)+2f(b)f(c)+2f(c)f(a) を満たすとする。すべての f を求めよ。
ステップ 5/5: 周期 4 の族と完全な分類
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

残る分岐は周期 4 であり、二次族・周期 2 族と合わせて全可能性を尽くす。

f(n)={0,4∣n,c,n odd,4c,n≡2(mod4),f(n)=\begin{cases}0,&4\mid n,\\ c,&n\text{ odd},\\4c,&n\equiv2\pmod4,\end{cases}
詳しい解説

上の非周期分岐で帰納が最初に下の枝を選ぶと、同じ代入から n=2 が強制され、f(3)=f(1)f(3)=f(1) となる。(1,3,4)(1,3,4) での式は f(4)=0f(4)=0 を与え、周期 4 となる。偶性と元の式から f(4t)=0f(4t)=0、f(4t+1)=f(4t+3)=cf(4t+1)=f(4t+3)=c、f(4t+2)=4cf(4t+2)=4c が得られる。したがって全解は f(n)=cn2f(n)=cn^2、f(n)=0f(n)=0（偶数 n で 0、奇数 n で c）、または上の周期 4 の族で、c∈Zc\in\mathbb Z は任意である。