MathLabs

第5問

∠BCA=90∘\angle BCA=90^\circ の三角形 ABCABC で、C からの垂線の足を D とする。CD の内部に X を取り、AX 上の K を BK=BCBK=BC、BX 上の L を AL=ACAL=AC となるように定め、M=AL∩BKM=AL\cap BK とする。MK=MLMK=ML を示せ。
ステップ 1/5: 垂足からの相似を使う
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

直角三角形と垂足により、AL=AC が AB 上の有用な積に変わる。

AL2=AC2=AD⋅ABAL^2=AC^2=AD\cdot AB
詳しい解説

AL=ACAL=AC と高さの定理 AC2=AD⋅ABAC^2=AD\cdot AB より AL2=AD⋅ABAL^2=AD\cdot AB。したがって三角形 ALDALD と ABLABL は相似であり、A,X,LA,X,L と B,X,KB,X,K がそれぞれ一直線上にあるので ∠ALD=∠XBA\angle ALD=\angle XBA。