MathLabs

第5問

∠BCA=90∘\angle BCA=90^\circ の三角形 ABCABC で、C からの垂線の足を D とする。CD の内部に X を取り、AX 上の K を BK=BCBK=BC、BX 上の L を AL=ACAL=AC となるように定め、M=AL∩BKM=AL\cap BK とする。MK=MLMK=ML を示せ。
ステップ 3/5: L と K を直角円上に置く
ざっくり言うと

角の等しさから R,A,D,L が共円となり、直角により RL と RK を計算できる。

R,A,D,L cyclic,RL2=AR2−AC2R,A,D,L\text{ cyclic},\qquad RL^2=AR^2-AC^2
詳しい解説

∠ALD=∠ARD\angle ALD=\angle ARD より R,A,D,LR,A,D,L は共円。従って ∠RLA=90∘\angle RLA=90^\circ で、RL2=AR2−AL2=AR2−AC2RL^2=AR^2-AL^2=AR^2-AC^2。K について対称な議論をすれば ∠RKB=90∘\angle RKB=90^\circ、RK2=BR2−BK2=BR2−BC2RK^2=BR^2-BK^2=BR^2-BC^2。