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第6問

非負整数 a1,…,ana_1,\dots,a_n が存在して ∑i=1n2−ai=∑i=1ni3−ai=1\sum_{i=1}^n2^{-a_i}=\sum_{i=1}^n i3^{-a_i}=1 となる正整数 nn をすべて求めよ。
ステップ 1/4: 必要な合同条件を導く
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

最大の 3 のべきで分母を払うと、第二の等式は n を法とする整数合同になる。

3M=∑i=1ni3M−ai≡n(n+1)2≡1(mod2)3^M=\sum_{i=1}^n i3^{M-a_i}\equiv\frac{n(n+1)}2\equiv1\pmod2
詳しい解説

M=max⁡iaiM=\max_i a_i とおく。∑i=1ni3−ai=1\sum_{i=1}^n i3^{-a_i}=1 に 3M3^M を掛けて 3M=∑ii3M−ai3^M=\sum_i i3^{M-a_i}。この整数等式を 2 を法として見ると、左辺は奇数、右辺は 1+2+⋯+n=n(n+1)/21+2+\cdots+n=n(n+1)/2 と合同である。従ってこの三角数は奇数であり、n≡1,2(mod4)n\equiv1,2\pmod4。