第6問

非負整数

a_1,\dots,a_n

が存在して

\sum_{i=1}^n2^{-a_i}=\sum_{i=1}^n i3^{-a_i}=1

となる正整数

n

をすべて求めよ。

ステップ 2/4: 奇数長から次の偶数長へ進む

前のステップ次のステップ

ざっくり言うと

一項を、二進寄与が等しい二項に置き換え、三進の添字の和を元の添字の 3 倍にする。

a'_{m+1}=a_{m+1}+1,\quad a'_{2m+2}=a_{m+1}+1

詳しい解説

$(a_1,\ldots,a_{2m+1})$ が実現可能とする。 $a'_j=a_j$ とし、ただし $a'_{m+1}=a_{m+1}+1$ 、 $a'_{2m+2}=a_{m+1}+1$ とする。二進和は $2^{-a_{m+1}}$ が $2^{-(a_{m+1}+1)}$ の二つに置き換わるため不変である。三進和の変化は $-(m+1)3^{-a_{m+1}}+((m+1)+(2m+2))3^{-(a_{m+1}+1)}=0$ 。従って $2m+1$ から $2m+2$ が得られる。