第6問

非負整数

a_1,\dots,a_n

が存在して

\sum_{i=1}^n2^{-a_i}=\sum_{i=1}^n i3^{-a_i}=1

となる正整数

n

をすべて求めよ。

ステップ 4/4: 五つの基底列を確認する

前のステップ次のステップ

ざっくり言うと

基底は長さ 1,5,9,13,17 を覆い、奇数から偶数への手順で隣の偶数長も得られる。

(0);\ (2,1,3,4,4);\ (2,3,3,3,3,4,4,4,4);\ (2,3,3,4,4,4,5,4,4,5,4,5,5);\ (3,2,2,4,4,5,5,6,5,6,6,6,6,6,6,6,5)

詳しい解説

式に示した長さ $1,5,9,13,17$ の指数列は代入で実現可能と確認できる。奇数から偶数への手順で $2,6,10,14,18$ を得る。11項拡張で以後のすべての $4m+13\equiv1\pmod4$ を得て、さらに奇数から偶数への手順で対応する $2\pmod4$ の長さを得る。従って必要条件と一致して、すべての $n\equiv1,2\pmod4$ が可能である。