第1問

任意の正の整数の組

k

と

n

に対して、

k

個の正の整数

m_1,m_2,\ldots,m_k

(互いに異なるとは限らない)が存在して

1+\frac{2^k-1}{n}=\left(1+\frac{1}{m_1}\right)\left(1+\frac{1}{m_2}\right)\cdots\left(1+\frac{1}{m_k}\right).

が成り立つことを証明せよ。

ステップ 1/5: 基礎段階 k = 1

ざっくり言うと

1つずつ因子を取り出せば $k$ が $k-1$ に減るので、 $k$ についての帰納法が自然である。

1+\frac{2^1-1}{n}=1+\frac{1}{n}

詳しい解説

$k=1$ のとき、示すべき等式は $1+\frac{1}{n}=1+\frac{1}{n}$ であり、 $m_1=n$ ととれば自明に成り立つ。これはすべての正の整数 $n$ で成り立つべき、 $k$ についての帰納法の基礎段階である。