国際数学オリンピック · 2013年

問題

第1問任意の正の整数の組 $k$ と $n$ に対して、 $k$ 個の正の整数 $m_1,m_2,\ldots,m_k$ (互いに異なるとは限らない)が存在して $1+\frac{2^k-1}{n}=\left(1+\frac{1}{m_1}\right)\left(1+\frac{1}{m_2}\right)\cdots\left(1+\frac{1}{m_k}\right).$ が成り立つことを証明せよ。解答: 1
第2問平面上の $4027$ 個の点からなる配置が、 $2013$ 個の赤い点と $2014$ 個の青い点からなり、どの3点も同一直線上にないとき、コロンビア配置と呼ぶ。いくつかの直線を引くことで、平面はいくつかの領域に分けられる。あるコロンビア配置に対する直線の配置が良いとは、次の2条件を満たすことをいう:(1) どの直線も配置の点を通らない;(2) どの領域も両方の色の点を含まない。 $4027$ 個の点からなるどのコロンビア配置に対しても $k$ 本の直線からなる良い配置が存在するような、最小の $k$ の値を求めよ。解答: 1
第3問三角形 $ABC$ の頂点 $A$ に対する傍接円が辺 $BC$ と接する点を $A_1$ とする。同様に、頂点 $B$ 、 $C$ に対する傍接円を用いて、辺 $CA$ 上の点 $B_1$ 、辺 $AB$ 上の点 $C_1$ を定める。三角形 $A_1B_1C_1$ の外心が三角形 $ABC$ の外接円上にあるとする。このとき、三角形 $ABC$ は直角三角形であることを証明せよ。解答: 1
第4問垂心 $H$ をもつ鋭角三角形 $ABC$ を考え、 $W$ を辺 $BC$ 上で $B$ と $C$ の間にある点とする。 $M$ 、 $N$ をそれぞれ $B$ 、 $C$ から下ろした垂線の足とする。 $\omega_1$ を三角形 $BWN$ の外接円とし、 $X$ を $WX$ が $\omega_1$ の直径となるような $\omega_1$ 上の点とする。同様に、 $\omega_2$ を三角形 $CWM$ の外接円とし、 $WY$ が $\omega_2$ の直径となるような点を $Y$ とする。 $X, Y$ 、 $H$ が同一直線上にあることを証明せよ。解答: 1
第5問 $\mathbb{Q}_{>0}$ をすべての正の有理数からなる集合とする。関数 $f:\mathbb{Q}_{>0}\to\mathbb{R}$ が次の3条件を満たすとする:(i) すべての $x,y\in\mathbb{Q}_{>0}$ に対して $f(x)f(y)\ge f(xy)$ ;(ii) すべての $x,y\in\mathbb{Q}_{>0}$ に対して $f(x+y)\ge f(x)+f(y)$ ;(iii) ある有理数 $a>1$ が存在して $f(a)=a$ 。このとき、すべての $x\in\mathbb{Q}_{>0}$ に対して $f(x)=x$ であることを証明せよ。解答: 1
第6問 $n\ge2$ を整数とし、円周上に等間隔に印をつけた $n+1$ 個の点を考える。これらの点に $0,1,\ldots,n$ を1回ずつ用いてラベル付けするすべての方法を考える。円の回転で一方から他方が得られるとき、2つのラベル付けは同じものとみなす。ラベル付けが美しいとは、 $a+d=b+c$ を満たす任意の4つのラベル $a<b<c<d$ について、ラベル $a$ と $d$ の点を結ぶ弦が、ラベル $b$ と $c$ の点を結ぶ弦と交わらないことをいう。 $M$ を美しいラベル付けの個数、 $N$ を $x+y\le n$ かつ $\gcd(x,y)=1$ を満たす正の整数の順序対 $(x,y)$ の個数とする。 $M=N+1$ を証明せよ。解答: 1