第1問

任意の正の整数の組

k

と

n

に対して、

k

個の正の整数

m_1,m_2,\ldots,m_k

(互いに異なるとは限らない)が存在して

1+\frac{2^k-1}{n}=\left(1+\frac{1}{m_1}\right)\left(1+\frac{1}{m_2}\right)\cdots\left(1+\frac{1}{m_k}\right).

が成り立つことを証明せよ。

ステップ 2/5: 帰納段階:n を偶奇で分ける

n=2t-1 \text{ (odd)}\quad\text{or}\quad n=2t \text{ (even)}, \quad t\in\mathbb{Z}_{>0}

詳しい解説

$k\ge2$ を固定し、 $k-1$ とすべての正の整数に対して等式がすでに成り立つと仮定する。与えられた $n$ に対し、 $n$ が奇数なら $n=2t-1$ 、 $n$ が偶数なら $n=2t$ と正の整数 $t$ を用いて表す。以下ではこの2つの場合を分けて扱う。