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第1問

任意の正の整数の組 kk と nn に対して、kk 個の正の整数 m1,m2,…,mkm_1,m_2,\ldots,m_k(互いに異なるとは限らない)が存在して 1+2k−1n=(1+1m1)(1+1m2)⋯(1+1mk).1+\frac{2^k-1}{n}=\left(1+\frac{1}{m_1}\right)\left(1+\frac{1}{m_2}\right)\cdots\left(1+\frac{1}{m_k}\right). が成り立つことを証明せよ。
ステップ 4/5: 偶数の場合:m_k = n + 2^k − 2 を取り出す
前のステップ次のステップ
1+2k−12t=(1+2k−1−1t)(1+12t+2k−2)1+\frac{2^k-1}{2t}=\left(1+\frac{2^{k-1}-1}{t}\right)\left(1+\frac{1}{2t+2^k-2}\right)
詳しい解説

n=2tn=2t のとき、直接計算により 2t+2k−12t=2t+2k−22t⋅2t+2k−12t+2k−2\dfrac{2t+2^k-1}{2t}=\dfrac{2t+2^k-2}{2t}\cdot\dfrac{2t+2^k-1}{2t+2^k-2} を得る。各分数を 1+(…)1+(\ldots) の形に書けば、これがまさに上式の積である。tt と k−1k-1 に帰納法の仮定を適用すると第一因子のための m1,…,mk−1m_1,\ldots,m_{k-1} が得られ、第二因子には正の整数 mk=2t+2k−2=n+2k−2m_k=2t+2^k-2=n+2^k-2 を用いればよい。