第1問

任意の正の整数の組

k

と

n

に対して、

k

個の正の整数

m_1,m_2,\ldots,m_k

(互いに異なるとは限らない)が存在して

1+\frac{2^k-1}{n}=\left(1+\frac{1}{m_1}\right)\left(1+\frac{1}{m_2}\right)\cdots\left(1+\frac{1}{m_k}\right).

が成り立つことを証明せよ。

ステップ 5/5: 帰納法の結論

1+\frac{2^k-1}{n}=\prod_{i=1}^{k}\left(1+\frac{1}{m_i}\right)

詳しい解説

任意の正の整数 $n$ は奇数か偶数のいずれかなので、上の2つの場合のどちらかが必ず当てはまる。基礎段階 $k=1$ と合わせて、これで $k$ についての帰納法が完成し、任意の正の整数の組 $k,n$ に対して等式が証明された。