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第2問

平面上の 40274027 個の点からなる配置が、20132013 個の赤い点と 20142014 個の青い点からなり、どの3点も同一直線上にないとき、コロンビア配置と呼ぶ。いくつかの直線を引くことで、平面はいくつかの領域に分けられる。あるコロンビア配置に対する直線の配置が良いとは、次の2条件を満たすことをいう:(1) どの直線も配置の点を通らない;(2) どの領域も両方の色の点を含まない。40274027 個の点からなるどのコロンビア配置に対しても kk 本の直線からなる良い配置が存在するような、最小の kk の値を求めよ。
ステップ 2/5: 凸包の一点または同色の二点を切り離す
ざっくり言うと

支持線のすぐ内側に直線を置けば、配置点を通らずに凸包の一点または小さな辺を切り離せる。

a line isolates one hull point\text{a line isolates one hull point}
詳しい解説

上界には次の構成を使う。凸包に赤い頂点 A があれば、A における支持線の近くに直線を置き、A だけを一方に切り離す。凸包に赤い頂点がなければ全頂点が青であり、青点の方が赤点より多いので、隣接する青頂点 A,B が存在する。凸包辺 AB の近くの直線で A,B だけを切り離す。