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第3問

三角形 ABCABC の頂点 AA に対する傍接円が辺 BCBC と接する点を A1A_1 とする。同様に、頂点 BB、CC に対する傍接円を用いて、辺 CACA 上の点 B1B_1、辺 ABAB 上の点 C1C_1 を定める。三角形 A1B1C1A_1B_1C_1 の外心が三角形 ABCABC の外接円上にあるとする。このとき、三角形 ABCABC は直角三角形であることを証明せよ。
ステップ 3/5: 垂直二等分線を確認する
XY⊥A1C1,XZ⊥A1B1XY\perp A_1C_1,\quad XZ\perp A_1B_1
詳しい解説

Q=XQ=X は A1B1C1A_1B_1C_1 の外心だから、XX と弧の中点を結ぶ直線は対応する辺の垂直二等分線である。従って XY⊥A1C1XY\perp A_1C_1、XZ⊥A1B1XZ\perp A_1B_1。