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第4問

垂心 HH をもつ鋭角三角形 ABCABC を考え、WW を辺 BCBC 上で BB と CC の間にある点とする。MM、NN をそれぞれ BB、CC から下ろした垂線の足とする。ω1\omega_1 を三角形 BWNBWN の外接円とし、XX を WXWX が ω1\omega_1 の直径となるような ω1\omega_1 上の点とする。同様に、ω2\omega_2 を三角形 CWMCWM の外接円とし、WYWY が ω2\omega_2 の直径となるような点を YY とする。X,YX, Y、HH が同一直線上にあることを証明せよ。
ステップ 2/5: A は3円の根心である
前のステップ次のステップ
A=BN∩CM=radical center of ω1,ω2,ω3  ⟹  A∈WZA = BN \cap CM = \text{radical center of } \omega_1,\omega_2,\omega_3 \implies A \in WZ
詳しい解説

直線 WZWZ は ω1\omega_1 と ω2\omega_2 の根軸である。同様に BNBN は ω1\omega_1 と ω3\omega_3 の根軸、CMCM は ω2\omega_2 と ω3\omega_3 の根軸である。したがって A=BN∩CMA=BN\cap CM は3円の根心となり、AA も直線 WZWZ 上にある。