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第4問

垂心 HH をもつ鋭角三角形 ABCABC を考え、WW を辺 BCBC 上で BB と CC の間にある点とする。MM、NN をそれぞれ BB、CC から下ろした垂線の足とする。ω1\omega_1 を三角形 BWNBWN の外接円とし、XX を WXWX が ω1\omega_1 の直径となるような ω1\omega_1 上の点とする。同様に、ω2\omega_2 を三角形 CWMCWM の外接円とし、WYWY が ω2\omega_2 の直径となるような点を YY とする。X,YX, Y、HH が同一直線上にあることを証明せよ。
ステップ 4/5: H に関する方べきの等式
前のステップ次のステップ
AL⋅AH=AB⋅AN=AW⋅AZAL\cdot AH = AB\cdot AN = AW\cdot AZ
詳しい解説

四角形 BLHNBLHN は ∠BLH=∠BNH=90∘\angle BLH=\angle BNH=90^\circ という2つの対角が直角であることから円に内接する。AA の ω1\omega_1 に関する方べきと、B,L,H,NB,L,H,N を通る円に関する方べきを計算すると AL⋅AH=AB⋅AN=AW⋅AZAL\cdot AH=AB\cdot AN=AW\cdot AZ を得る。最後の等号は、すでに確立した根軸の関係を用いた AA の ω1\omega_1 に関する方べきである。