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第4問

垂心 HH をもつ鋭角三角形 ABCABC を考え、WW を辺 BCBC 上で BB と CC の間にある点とする。MM、NN をそれぞれ BB、CC から下ろした垂線の足とする。ω1\omega_1 を三角形 BWNBWN の外接円とし、XX を WXWX が ω1\omega_1 の直径となるような ω1\omega_1 上の点とする。同様に、ω2\omega_2 を三角形 CWMCWM の外接円とし、WYWY が ω2\omega_2 の直径となるような点を YY とする。X,YX, Y、HH が同一直線上にあることを証明せよ。
ステップ 5/5: 結論:H は直線 XYZ 上にある
前のステップ次のステップ
△AHZ∼△AWL  ⟹  ∠HZA=90∘\triangle AHZ \sim \triangle AWL \implies \angle HZA = 90^\circ
詳しい解説

HH が直線 AWAW 上にあれば、等式 AL⋅AH=AW⋅AZAL\cdot AH=AW\cdot AZ から直ちに H=ZH=Z となる。そうでなければ、比が等しいこと AHAZ=AWAL\frac{AH}{AZ}=\frac{AW}{AL} と AA における共通角から三角形 AHZAHZ と AWLAWL は相似となり、∠HZA=∠WLA=90∘\angle HZA=\angle WLA=90^\circ を得る。したがって HH も ZZ を通り AZAZ に垂直な直線、すなわち直線 XYZXYZ 上にあり、X,Y,HX,Y,H が共線であることが証明された。