第5問

\mathbb{Q}_{>0}

をすべての正の有理数からなる集合とする。関数

f:\mathbb{Q}_{>0}\to\mathbb{R}

が次の3条件を満たすとする:(i) すべての

x,y\in\mathbb{Q}_{>0}

に対して

f(x)f(y)\ge f(xy)

;(ii) すべての

x,y\in\mathbb{Q}_{>0}

に対して

f(x+y)\ge f(x)+f(y)

;(iii) ある有理数

a>1

が存在して

f(a)=a

。このとき、すべての

x\in\mathbb{Q}_{>0}

に対して

f(x)=x

であることを証明せよ。

ステップ 1/6: 2つの不等式からの最初の評価

前のステップ次のステップ

f(1)\ge 1, \qquad f(nx)\ge n f(x) \text{ for } n\in\mathbb{Z}_{>0}

詳しい解説

$x=1,y=a$ を(i)に代入すると $f(1)f(a)\ge f(a)$ となり、 $f(a)=a>0$ より $f(1)\ge1$ が導かれる。(ii)を用いて $n$ について帰納すると、すべての正の整数 $n$ と $x\in\mathbb{Q}_{>0}$ に対して $f(nx)\ge nf(x)$ が成り立つ。特に $f(n)\ge nf(1)\ge n$ である。