第5問

\mathbb{Q}_{>0}

をすべての正の有理数からなる集合とする。関数

f:\mathbb{Q}_{>0}\to\mathbb{R}

が次の3条件を満たすとする:(i) すべての

x,y\in\mathbb{Q}_{>0}

に対して

f(x)f(y)\ge f(xy)

;(ii) すべての

x,y\in\mathbb{Q}_{>0}

に対して

f(x+y)\ge f(x)+f(y)

;(iii) ある有理数

a>1

が存在して

f(a)=a

。このとき、すべての

x\in\mathbb{Q}_{>0}

に対して

f(x)=x

であることを証明せよ。

ステップ 2/6: f は増加関数であり x − 1 で下から評価される

前のステップ次のステップ

f(x) \ge x - 1 \text{ for } x \ge 1, \qquad f \text{ strictly increasing}

詳しい解説

$x=m/n,y=n$ として(i)を適用すると $f(m/n)f(n)\ge f(m)$ となり、すべての $q\in\mathbb{Q}_{>0}$ について $f(q)>0$ が分かる。次に(ii)より $f(x+y)\ge f(x)+f(y)>f(x)$ となるので $f$ は狭義増加である。前段の $f(n)\ge n$ と合わせて、 $x\ge1$ のとき $f(x)\ge f(\lfloor x\rfloor)\ge\lfloor x\rfloor>x-1$ を得る。