MathLabs

第5問

Q>0\mathbb{Q}_{>0} をすべての正の有理数からなる集合とする。関数 f:Q>0→Rf:\mathbb{Q}_{>0}\to\mathbb{R} が次の3条件を満たすとする:(i) すべての x,y∈Q>0x,y\in\mathbb{Q}_{>0} に対して f(x)f(y)≥f(xy)f(x)f(y)\ge f(xy);(ii) すべての x,y∈Q>0x,y\in\mathbb{Q}_{>0} に対して f(x+y)≥f(x)+f(y)f(x+y)\ge f(x)+f(y);(iii) ある有理数 a>1a>1 が存在して f(a)=af(a)=a。このとき、すべての x∈Q>0x\in\mathbb{Q}_{>0} に対して f(x)=xf(x)=x であることを証明せよ。
ステップ 3/6: n乗根をとって f(x) ≥ x を導く
前のステップ次のステップ
f(x)n≥f(xn)>xn−1  ⟹  f(x)≥x for x>1f(x)^n \ge f(x^n) > x^n - 1 \implies f(x) \ge x \text{ for } x > 1
詳しい解説

(i)を帰納的に用いると、すべての正の整数 nn について f(x)n≥f(xn)f(x)^n\ge f(x^n) が成り立つ。前段と合わせて f(x)n>xn−1f(x)^n>x^n-1 となるので、すべての nn について f(x)>xn−1nf(x)>\sqrt[n]{x^n-1} である。x>1x>1 を固定して n→∞n\to\infty とすると(増大の速さを比較して)、すべての有理数 x>1x>1 に対して f(x)≥xf(x)\ge x を得る。