第5問

\mathbb{Q}_{>0}

をすべての正の有理数からなる集合とする。関数

f:\mathbb{Q}_{>0}\to\mathbb{R}

が次の3条件を満たすとする:(i) すべての

x,y\in\mathbb{Q}_{>0}

に対して

f(x)f(y)\ge f(xy)

;(ii) すべての

x,y\in\mathbb{Q}_{>0}

に対して

f(x+y)\ge f(x)+f(y)

;(iii) ある有理数

a>1

が存在して

f(a)=a

。このとき、すべての

x\in\mathbb{Q}_{>0}

に対して

f(x)=x

であることを証明せよ。

ステップ 4/6: a のべき乗でちょうど等号が成り立つ

a^n = f(a)^n \ge f(a^n) \ge a^n \implies f(a^n) = a^n

詳しい解説

$a>1$ なので前段より $f(a^n)\ge a^n$ である。一方(i)より $f(a)^n\ge f(a^n)$ 、すなわち $f(a)=a$ より $a^n\ge f(a^n)$ となる。この2つの不等式により、すべての正の整数 $n$ について $f(a^n)=a^n$ が強制される。