第5問

\mathbb{Q}_{>0}

をすべての正の有理数からなる集合とする。関数

f:\mathbb{Q}_{>0}\to\mathbb{R}

が次の3条件を満たすとする:(i) すべての

x,y\in\mathbb{Q}_{>0}

に対して

f(x)f(y)\ge f(xy)

;(ii) すべての

x,y\in\mathbb{Q}_{>0}

に対して

f(x+y)\ge f(x)+f(y)

;(iii) ある有理数

a>1

が存在して

f(a)=a

。このとき、すべての

x\in\mathbb{Q}_{>0}

に対して

f(x)=x

であることを証明せよ。

ステップ 5/6: 任意の x を 1 と a^n − x の間に挟む

前のステップ次のステップ

a^n = f(a^n) \ge f(x) + f(a^n - x) \ge x + (a^n - x - 1) = a^n - 1

詳しい解説

$x>1$ を固定し、 $a^n-x>1$ となるよう十分大きな $n$ をとる。(ii)を $x$ と $a^n-x$ に適用し、 $f(a^n)=a^n$ と、2段階前に示した下限 $f(y)\ge y$ ( $x$ 、 $a^n-x$ ともに $1$ より大きい)を用いると、 $a^n=f(a^n)\ge f(x)+f(a^n-x)\ge f(x)+(a^n-x)$ となり、 $f(x)\le x$ を得る。すでに示した $f(x)\ge x$ と合わせて $f(x)=x$ となる。