第5問

\mathbb{Q}_{>0}

をすべての正の有理数からなる集合とする。関数

f:\mathbb{Q}_{>0}\to\mathbb{R}

が次の3条件を満たすとする:(i) すべての

x,y\in\mathbb{Q}_{>0}

に対して

f(x)f(y)\ge f(xy)

;(ii) すべての

x,y\in\mathbb{Q}_{>0}

に対して

f(x+y)\ge f(x)+f(y)

;(iii) ある有理数

a>1

が存在して

f(a)=a

。このとき、すべての

x\in\mathbb{Q}_{>0}

に対して

f(x)=x

であることを証明せよ。

ステップ 6/6: x > 1 からすべての正の有理数へ拡張する

前のステップ次のステップ

n f(x) = f(n) f(x) \ge f(nx) \ge n f(x) \implies f(nx) = n f(x) \implies f(x) = x \text{ on } \mathbb{Q}_{>0}

詳しい解説

すべての $x\in\mathbb{Q}_{>0}$ 、 $n\in\mathbb{Z}_{>0}$ について、(i)と最初の段階より $nf(x)=f(n)f(x)\ge f(nx)\ge nf(x)$ となり、 $f(nx)=nf(x)$ を得る。 $nx>1$ となるよう $n$ を選べば、前段より $f(nx)=nx$ なので $nf(x)=nx$ 、すなわち $f(x)=x$ となる。よって、すべての $x\in\mathbb{Q}_{>0}$ について $f(x)=x$ である。