MathLabs

第6問

n≥2n\ge2 を整数とし、円周上に等間隔に印をつけた n+1n+1 個の点を考える。これらの点に 0,1,…,n0,1,\ldots,n を1回ずつ用いてラベル付けするすべての方法を考える。円の回転で一方から他方が得られるとき、2つのラベル付けは同じものとみなす。ラベル付けが美しいとは、a+d=b+ca+d=b+c を満たす任意の4つのラベル a<b<c<da<b<c<d について、ラベル aa と dd の点を結ぶ弦が、ラベル bb と cc の点を結ぶ弦と交わらないことをいう。MM を美しいラベル付けの個数、NN を x+y≤nx+y\le n かつ gcd⁡(x,y)=1\gcd(x,y)=1 を満たす正の整数の順序対 (x,y)(x,y) の個数とする。M=N+1M=N+1 を証明せよ。
ステップ 3/5: n-弦で線形環を特徴付ける
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

n-弦は 0 以外の全点を覆い、0 がその間にあるかどうかでラベルが等差数列か決まる。

0 lies between two n-chords⟺the ring is nonlinear0\text{ lies between two n-chords}\Longleftrightarrow\text{the ring is nonlinear}
詳しい解説

{0,…,n−1}\{0,\ldots,n-1\} 上の環で、和が n の弦は相補的なラベル aa と n−an-a を結び、0 以外の全点を覆う。擬平行性により実際に平行である。0 が二本の弦の間にあれば、それが唯一の非線形の場合である。0 がすべての弦の同じ側にあれば、和 n と n-1 の弦から写像 t↦n−1−t(modn)t\mapsto n-1-t\pmod n が回転であることが分かり、環は線形となる。これで特徴付けが示された。