国際数学オリンピック · 2014年

問題

第1問 $a_0<a_1<a_2<\cdots$ を正の整数からなる無限数列とする。次を満たす整数 $n\ge1$ がただ1つ存在することを証明せよ。 $a_n<\frac{a_0+a_1+\cdots+a_n}{n}\le a_{n+1}.$ 解答: 1
第2問 $n\ge2$ を整数とする。 $n^2$ 個の単位正方形からなる $n\times n$ のチェス盤を考える。この盤上の $n$ 個のルークの配置が平和的であるとは、どの行にもどの列にもちょうど1個のルークがあることをいう。 $n$ 個のルークのどの平和的な配置に対しても、その $k^2$ 個の単位正方形のいずれにもルークが置かれていない $k\times k$ の正方形が存在するような、最大の正の整数 $k$ を求めよ。解答: 1
第3問凸四角形 $ABCD$ が $\angle ABC=\angle CDA=90^\circ$ を満たすとする。点 $H$ を $A$ から $BD$ に下ろした垂線の足とする。点 $S$ 、 $T$ をそれぞれ辺 $AB$ 、 $AD$ 上にとり、 $H$ が三角形 $SCT$ の内部にあって、 $\angle CHS-\angle CSB=90^\circ$ 、 $\angle THC-\angle DTC=90^\circ$ を満たすようにする。このとき、直線 $BD$ が三角形 $TSH$ の外接円に接することを証明せよ。解答: 1
第4問鋭角三角形 $ABC$ の辺 $BC$ 上に点 $P$ 、 $Q$ を、 $\angle PAB=\angle BCA$ 、 $\angle CAQ=\angle ABC$ となるようにとる。点 $M$ 、 $N$ をそれぞれ直線 $AP$ 、 $AQ$ 上に、 $P$ が $AM$ の中点、 $Q$ が $AN$ の中点となるようにとる。直線 $BM$ と $CN$ の交点が三角形 $ABC$ の外接円上にあることを証明せよ。解答: 1
第5問各正の整数 $n$ に対して、ケープタウン銀行は額面 $\tfrac{1}{n}$ の硬貨を発行する。そのような硬貨(額面は必ずしも異なる必要はない)からなる有限個の集まりで、合計額が $99+\tfrac12$ 以下であるものが与えられたとき、この集まりを $100$ 個以下のグループに分け、各グループの合計額が $1$ 以下となるようにできることを証明せよ。解答: 1
第6問平面上の直線の集合が一般の位置にあるとは、どの2直線も平行でなく、どの3直線も同一点を通らないことをいう。一般の位置にある直線の集合は平面をいくつかの領域に分け、そのうちいくつかは有限の面積をもつ;これらをその有限領域と呼ぶ。十分大きいすべての $n$ に対して、一般の位置にある $n$ 本の直線からなるどの集合においても、少なくとも $\sqrt{n}$ 本の直線を、どの有限領域も境界がすべて青色にならないように青く塗ることができることを証明せよ。解答: 1