MathLabs

第3問

凸四角形 ABCDABCD が ∠ABC=∠CDA=90∘\angle ABC=\angle CDA=90^\circ を満たすとする。点 HH を AA から BDBD に下ろした垂線の足とする。点 SS、TT をそれぞれ辺 ABAB、ADAD 上にとり、HH が三角形 SCTSCT の内部にあって、∠CHS−∠CSB=90∘\angle CHS-\angle CSB=90^\circ、∠THC−∠DTC=90∘\angle THC-\angle DTC=90^\circ を満たすようにする。このとき、直線 BDBD が三角形 TSHTSH の外接円に接することを証明せよ。
ステップ 1/6: SHC の外心 K を直線 AB 上に位置づける
前のステップ次のステップ
∠SQC=90∘−∠BSC=180∘−∠SHC  ⟹  C,H,S,Q concyclic\angle SQC = 90^\circ - \angle BSC = 180^\circ - \angle SHC \implies C,H,S,Q \text{ concyclic}
詳しい解説

CC を通り SCSC に垂直な直線が直線 ABAB と交わる点を QQ とする。∠CHS−∠CSB=90∘\angle CHS-\angle CSB=90^\circ より ∠SQC=90∘−∠BSC=180∘−∠SHC\angle SQC=90^\circ-\angle BSC=180^\circ-\angle SHC が分かるので、C,H,S,QC,H,S,Q は直径 SQSQ を持つ同一円上にある。したがって三角形 SHCSHC の外心 KK はこの直径の中点であり、直線 ABAB 上にある。