MathLabs

第1問

a0<a1<a2<⋯a_0<a_1<a_2<\cdots を正の整数からなる無限数列とする。次を満たす整数 n≥1n\ge1 がただ1つ存在することを証明せよ。an<a0+a1+⋯+ann≤an+1.a_n<\frac{a_0+a_1+\cdots+a_n}{n}\le a_{n+1}.
ステップ 1/5: 差 d_n を導入する
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

示すべき不等式に nn を掛けると整数についての主張になり、分数を直接扱うより制御しやすくなる。

dn:=(a0+a1+⋯+an)−nand_n := (a_0+a_1+\cdots+a_n) - n a_n
詳しい解説

n≥1n\ge1 に対して dn=(a0+a1+⋯+an)−nand_n=(a_0+a_1+\cdots+a_n)-na_n と定める。これはすべての aia_i が整数なので整数である。不等式 an<a0+⋯+anna_n<\frac{a_0+\cdots+a_n}{n} は nan<a0+⋯+anna_n<a_0+\cdots+a_n、すなわち dn>0d_n>0 と同値である。