(n+1)an+1−(a0+⋯+an+an+1)=−dn+1(n+1)a_{n+1}-(a_0+\cdots+a_n+a_{n+1})=-d_{n+1}(n+1)an+1−(a0+⋯+an+an+1)=−dn+1 より nan+1−(a0+⋯+an)=−dn+1na_{n+1}-(a_0+\cdots+a_n)=-d_{n+1}nan+1−(a0+⋯+an)=−dn+1 である。したがって不等式 a0+⋯+ann≤an+1\frac{a_0+\cdots+a_n}{n}\le a_{n+1}na0+⋯+an≤an+1 は a0+⋯+an≤nan+1a_0+\cdots+a_n\le na_{n+1}a0+⋯+an≤nan+1、すなわち −dn+1≥0-d_{n+1}\ge0−dn+1≥0、すなわち dn+1≤0d_{n+1}\le0dn+1≤0 と同値である。よって問題は dn>0≥dn+1d_n>0\ge d_{n+1}dn>0≥dn+1 を満たす一意な n≥1n\ge1n≥1 を見つけることに帰着する。