MathLabs

第1問

a0<a1<a2<⋯a_0<a_1<a_2<\cdots を正の整数からなる無限数列とする。次を満たす整数 n≥1n\ge1 がただ1つ存在することを証明せよ。an<a0+a1+⋯+ann≤an+1.a_n<\frac{a_0+a_1+\cdots+a_n}{n}\le a_{n+1}.
ステップ 4/5: 数列 d_n は狭義単調減少である
前のステップ次のステップ
dn+1−dn=n(an−an+1)<0d_{n+1} - d_n = n(a_n - a_{n+1}) < 0
詳しい解説

dn+1−dn=[(a0+⋯+an+1)−(n+1)an+1]−[(a0+⋯+an)−nan]=n(an−an+1)d_{n+1}-d_n=\big[(a_0+\cdots+a_{n+1})-(n+1)a_{n+1}\big]-\big[(a_0+\cdots+a_n)-na_n\big]=n(a_n-a_{n+1}) を計算すると、n≥1n\ge1 かつ an<an+1a_n<a_{n+1} よりこれは負である。したがって d1>d2>d3>⋯d_1>d_2>d_3>\cdots は狭義単調減少な整数列である。