MathLabs

第1問

a0<a1<a2<⋯a_0<a_1<a_2<\cdots を正の整数からなる無限数列とする。次を満たす整数 n≥1n\ge1 がただ1つ存在することを証明せよ。an<a0+a1+⋯+ann≤an+1.a_n<\frac{a_0+a_1+\cdots+a_n}{n}\le a_{n+1}.
ステップ 5/5: 結論:符号の変化はただ1回
前のステップ次のステップ
∃! n≥1:dn>0≥dn+1\exists! \, n\ge1 : d_n > 0 \ge d_{n+1}
詳しい解説

正の値 d1>0d_1>0 から始まる狭義単調減少な整数列は、いずれ非正になるはずであり、狭義単調減少であることから正から非正へ変わるのはただ1つの添字でしか起こり得ない。その唯一の添字は dn>0d_n>0 を満たす最後のものであり、したがって dn>0≥dn+1d_n>0\ge d_{n+1} はちょうど1つの n≥1n\ge1 で成り立ち、求める nn の存在と一意性がともに証明された。