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第3問

凸四角形 ABCDABCD が ∠ABC=∠CDA=90∘\angle ABC=\angle CDA=90^\circ を満たすとする。点 HH を AA から BDBD に下ろした垂線の足とする。点 SS、TT をそれぞれ辺 ABAB、ADAD 上にとり、HH が三角形 SCTSCT の内部にあって、∠CHS−∠CSB=90∘\angle CHS-\angle CSB=90^\circ、∠THC−∠DTC=90∘\angle THC-\angle DTC=90^\circ を満たすようにする。このとき、直線 BDBD が三角形 TSHTSH の外接円に接することを証明せよ。
ステップ 3/6: 接する条件を2つの二等分線が交わる条件に帰着する
前のステップ次のステップ
BD tangent to ⊙(SHT)  ⟺  bisectors of ∠AKH,∠ALH meet on AHBD \text{ tangent to } \odot(SHT) \iff \text{bisectors of } \angle AKH, \angle ALH \text{ meet on } AH
詳しい解説

KH=KSKH=KS、LH=LTLH=LT(いずれも外接円の半径)であるから、HH と SS は HSHS の垂直二等分線に関して対称であり、これは二等辺三角形 KHSKHS における角 ∠AKH\angle AKH の二等分線である。H,TH,T と角 ∠ALH\angle ALH についても同様である。直線 BDBD が HH で SHTSHT の外接円に接するのは、直線 AHAH の適切な反射像であるとき、すなわち(HSHS と HTHT の垂直二等分線の角の二等分線としての特徴づけにより)これら2つの二等分線が直線 AHAH 上で交わることに帰着し、角の二等分線の長さの定理により、これは AKKH=ALLH\dfrac{AK}{KH}=\dfrac{AL}{LH} と同値である。