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第3問

凸四角形 ABCDABCD が ∠ABC=∠CDA=90∘\angle ABC=\angle CDA=90^\circ を満たすとする。点 HH を AA から BDBD に下ろした垂線の足とする。点 SS、TT をそれぞれ辺 ABAB、ADAD 上にとり、HH が三角形 SCTSCT の内部にあって、∠CHS−∠CSB=90∘\angle CHS-\angle CSB=90^\circ、∠THC−∠DTC=90∘\angle THC-\angle DTC=90^\circ を満たすようにする。このとき、直線 BDBD が三角形 TSHTSH の外接円に接することを証明せよ。
ステップ 4/6: 中点 M と ABCD の外心 O
前のステップ次のステップ
M:=KL∩HC  ⟹  M midpoint of HC,OM∥AH⊥BDM := KL \cap HC \implies M \text{ midpoint of } HC, \quad OM \parallel AH \perp BD
詳しい解説

M=KL∩HCM=KL\cap HC とする。KH=KCKH=KC、LH=LCLH=LC より HH と CC は直線 KLKL に関して対称なので、MM は HCHC の中点である。∠ABC=∠ADC=90∘\angle ABC=\angle ADC=90^\circ より四角形 ABCDABCD は円に内接し、外心 OO は ACAC の中点である。このとき OM∥AHOM\parallel AH(三角形 AHCAHC の中点連結線)なので OM⊥BDOM\perp BD となり、OB=ODOB=OD より直線 OMOM は BDBD の垂直二等分線であって BM=DMBM=DM を得る。