MathLabs

第3問

凸四角形 ABCDABCD が ∠ABC=∠CDA=90∘\angle ABC=\angle CDA=90^\circ を満たすとする。点 HH を AA から BDBD に下ろした垂線の足とする。点 SS、TT をそれぞれ辺 ABAB、ADAD 上にとり、HH が三角形 SCTSCT の内部にあって、∠CHS−∠CSB=90∘\angle CHS-\angle CSB=90^\circ、∠THC−∠DTC=90∘\angle THC-\angle DTC=90^\circ を満たすようにする。このとき、直線 BDBD が三角形 TSHTSH の外接円に接することを証明せよ。
ステップ 5/6: M を通る2つの円が正弦定理による比を与える
前のステップ次のステップ
AKAL=sin⁡∠ALKsin⁡∠AKL=DMCL⋅CKBM=CKCL=KHLH\frac{AK}{AL}=\frac{\sin\angle ALK}{\sin\angle AKL}=\frac{DM}{CL}\cdot\frac{CK}{BM}=\frac{CK}{CL}=\frac{KH}{LH}
詳しい解説

CM⊥KLCM\perp KL より、B,C,M,KB,C,M,K は直径 KCKC を持つ円上にあり、同様に L,C,M,DL,C,M,D は直径 LCLC を持つ円上にある。三角形 AKLAKL とこれら2つの円に正弦定理を適用し(前段の BM=DMBM=DM を用いる)、AKAL=sin⁡∠ALKsin⁡∠AKL=DMCL⋅CKBM=CKCL=KHLH\dfrac{AK}{AL}=\dfrac{\sin\angle ALK}{\sin\angle AKL}=\dfrac{DM}{CL}\cdot\dfrac{CK}{BM}=\dfrac{CK}{CL}=\dfrac{KH}{LH} を得る。これを整理すると、まさに AKKH=ALLH\dfrac{AK}{KH}=\dfrac{AL}{LH} となる。