MathLabs

第3問

凸四角形 ABCDABCD が ∠ABC=∠CDA=90∘\angle ABC=\angle CDA=90^\circ を満たすとする。点 HH を AA から BDBD に下ろした垂線の足とする。点 SS、TT をそれぞれ辺 ABAB、ADAD 上にとり、HH が三角形 SCTSCT の内部にあって、∠CHS−∠CSB=90∘\angle CHS-\angle CSB=90^\circ、∠THC−∠DTC=90∘\angle THC-\angle DTC=90^\circ を満たすようにする。このとき、直線 BDBD が三角形 TSHTSH の外接円に接することを証明せよ。
ステップ 6/6: 結論:H での接触
前のステップ次のステップ
AKKH=ALLH  ⟹  BD tangent to ⊙(SHT) at H\frac{AK}{KH}=\frac{AL}{LH} \implies BD \text{ tangent to } \odot(SHT) \text{ at } H
詳しい解説

先に示した比 AKKH=ALLH\dfrac{AK}{KH}=\dfrac{AL}{LH} は、角の二等分線の長さの定理により、∠AKH\angle AKH と ∠ALH\angle ALH の二等分線が線分 AHAH 上で交わるための条件そのものであり、これは先に帰着した通り、直線 BDBD(HH で AHAH に垂直)が三角形 SHTSHT の外接円に HH で接することと同値である。これで証明が完了する。