仮定より β=∠QAC=∠CBA\beta=\angle QAC=\angle CBAβ=∠QAC=∠CBA、γ=∠PAB=∠ACB\gamma=\angle PAB=\angle ACBγ=∠PAB=∠ACB とおく。三角形 ABPABPABP では AAA における角は γ\gammaγ、BBB における角は ∠ABC=β\angle ABC=\beta∠ABC=β であり、三角形 CAQCAQCAQ では CCC における角は γ\gammaγ、AAA における角は β\betaβ である。これらの等しい角の組を対応させると △ABP∼△CAQ\triangle ABP\sim\triangle CAQ△ABP∼△CAQ(A↔CA\leftrightarrow CA↔C、B↔AB\leftrightarrow AB↔A)となり、BPPA=AQQC\dfrac{BP}{PA}=\dfrac{AQ}{QC}PABP=QCAQ を得る。