MathLabs

第4問

鋭角三角形 ABCABC の辺 BCBC 上に点 PP、QQ を、∠PAB=∠BCA\angle PAB=\angle BCA、∠CAQ=∠ABC\angle CAQ=\angle ABC となるようにとる。点 MM、NN をそれぞれ直線 APAP、AQAQ 上に、PP が AMAM の中点、QQ が ANAN の中点となるようにとる。直線 BMBM と CNCN の交点が三角形 ABCABC の外接円上にあることを証明せよ。
ステップ 2/5: M、N への倍化でも相似性は保たれる
前のステップ次のステップ
BPPM=BPPA=AQQC=NQQC,∠BPM=β+γ=∠CQN\frac{BP}{PM}=\frac{BP}{PA}=\frac{AQ}{QC}=\frac{NQ}{QC}, \quad \angle BPM = \beta+\gamma = \angle CQN
詳しい解説

PP が AMAM の中点なので PM=PAPM=PA であり、前段の比は BPPM=AQQC=NQQC\dfrac{BP}{PM}=\dfrac{AQ}{QC}=\dfrac{NQ}{QC}(NQ=QANQ=QA を用いる)となる。また ∠BPM=180∘−∠APB=β+γ\angle BPM=180^\circ-\angle APB=\beta+\gamma(△ABP\triangle ABP の外角)であり、同様に ∠CQN=β+γ\angle CQN=\beta+\gamma である。したがって辺角辺の相似により △BPM∼△NQC\triangle BPM\sim\triangle NQC である。