MathLabs

第4問

鋭角三角形 ABCABC の辺 BCBC 上に点 PP、QQ を、∠PAB=∠BCA\angle PAB=\angle BCA、∠CAQ=∠ABC\angle CAQ=\angle ABC となるようにとる。点 MM、NN をそれぞれ直線 APAP、AQAQ 上に、PP が AMAM の中点、QQ が ANAN の中点となるようにとる。直線 BMBM と CNCN の交点が三角形 ABCABC の外接円上にあることを証明せよ。
ステップ 4/5: 交点 S を中心とする2つ目の相似
前のステップ次のステップ
S:=BM∩CN  ⟹  △BPM∼△BSCS := BM \cap CN \implies \triangle BPM \sim \triangle BSC
詳しい解説

SS を直線 BMBM と CNCN の交点とする。∠BMP=∠BMS\angle BMP=\angle BMS が ∠SCB\angle SCB に等しい(SS が直線 CNCN 上にあることを用いて ∠NCB\angle NCB を書き換える)ことと、∠MBP=∠SBC\angle MBP=\angle SBC が自明に成り立つ(同じ直線 BMBM)ことから、三角形 BPMBPM と BCSBCS は2つの等しい角を共有し、△BPM∼△BSC\triangle BPM\sim\triangle BSC となる。