MathLabs

第4問

鋭角三角形 ABCABC の辺 BCBC 上に点 PP、QQ を、∠PAB=∠BCA\angle PAB=\angle BCA、∠CAQ=∠ABC\angle CAQ=\angle ABC となるようにとる。点 MM、NN をそれぞれ直線 APAP、AQAQ 上に、PP が AMAM の中点、QQ が ANAN の中点となるようにとる。直線 BMBM と CNCN の交点が三角形 ABCABC の外接円上にあることを証明せよ。
ステップ 5/5: 結論:S から見た BC の角は角 A の補角
前のステップ次のステップ
∠CSB=∠BPM=β+γ=180∘−∠BAC\angle CSB = \angle BPM = \beta+\gamma = 180^\circ - \angle BAC
詳しい解説

△BPM∼△BSC\triangle BPM\sim\triangle BSC より、対応する角から ∠CSB=∠BPM\angle CSB=\angle BPM を得る。前段の ∠BPM=β+γ=180∘−∠BAC\angle BPM=\beta+\gamma=180^\circ-\angle BAC(△ABC\triangle ABC の角の和により β+γ\beta+\gamma が ∠BAC\angle BAC の補角となる)と合わせて、∠CSB=180∘−∠BAC\angle CSB=180^\circ-\angle BAC を得る。これはまさに SS が三角形 ABCABC の外接円のうち AA を含まない弧 BCBC 上にあるための条件であり、証明が完了する。