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第6問

平面上の直線の集合が一般の位置にあるとは、どの2直線も平行でなく、どの3直線も同一点を通らないことをいう。一般の位置にある直線の集合は平面をいくつかの領域に分け、そのうちいくつかは有限の面積をもつ;これらをその有限領域と呼ぶ。十分大きいすべての nn に対して、一般の位置にある nn 本の直線からなるどの集合においても、少なくとも n\sqrt{n} 本の直線を、どの有限領域も境界がすべて青色にならないように青く塗ることができることを証明せよ。
ステップ 2/6: 青い直線の集合 B を貪欲に増やす
B←B∪{ℓ} whenever ℓ is uncoloured and passes through no red pointB \leftarrow B \cup \{\ell\} \text{ whenever } \ell \text{ is uncoloured and passes through no red point}
詳しい解説

直線と点を段階的に色付けする。すべての直線と点が未着色の状態から始める。繰り返し行う:未着色の直線 ℓ\ell で赤い点を通らないものがあれば、ℓ\ell を青く塗り、ℓ\ell とすでに青い直線との交点もすべて青く塗り、次の段階のように続ける。残るすべての未着色の直線がすでに赤い点を通っているときに停止する。