第1問

中心 $O$、半径 $r$ の円を一つ固定する。$i=1,\dots,k$ に対して、円周上に点 $A_i,B_i$ を、$\triangle OA_iB_i$ が正三角形となるように選び、$V=\{O,A_1,B_1,\dots,A_k,B_k\}$ とおく。これは $2k+1$ 個の点からなる集合である。$O$ 以外のすべての点は $O$ から距離 $r$ にあるので、そのような2点 $A_i,A_j$ に対しては $C=O$ ととればよい。組 $(O,A_i)$ に対しては、$\triangle OA_iB_i$ が正三角形であることから第三の頂点 $B_i$ が $B_iO=B_iA_i$ を満たす。よって $V$ はバランスが取れており、$|V|=2k+1$ は $k=1,2,\dots$ に応じてすべての奇数 $\ge 3$ を動く。