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第1問

平面上の点からなる有限集合 SS が、SS 内の任意の異なる2点 AA, BB に対して AC=BCAC=BC を満たす点 CC が SS 内に存在するとき、バランスが取れている と呼ぶことにする。また、SS 内の任意の異なる3点 AA, BB, CC に対して PA=PB=PCPA=PB=PC を満たす点 PP が SS 内に存在しないとき、SS は 中心を持たない と呼ぶことにする。 (a) すべての整数 n≥3n\ge3 に対して、nn 個の点からなるバランスが取れた集合が存在することを示せ。 (b) nn 個の点からなるバランスが取れていて中心を持たない集合が存在するような整数 n≥3n\ge3 をすべて求めよ。
ステップ 2/5: あらゆる偶数の大きさに到達する
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

もう一つ共通の頂点を加えることで、一つの三角形を構造に「蝶番」のように取り付けても、バランスを崩さずに済む。

△OCD, △ODE equilateral⇒V∪{C,D,E} balanced\triangle OCD,\ \triangle ODE \text{ equilateral} \Rightarrow V\cup\{C,D,E\}\text{ balanced}
詳しい解説

前段で得られた任意のバランスが取れた集合 VV（k=0k=0 の場合、すなわち V={O}V=\{O\} の場合も含む）に、同じ円周上の3点 C,D,EC,D,E を、△OCD\triangle OCD と △ODE\triangle ODE がともに正三角形となるように追加する。先と同様に OC=OD=OE=rOC=OD=OE=r なので、OO は {C,D,E}\{C,D,E\} の中の任意の対、またはそれらと以前の放射状の点との間の対に対して仲介点となり、DD は組 (O,C)(O,C) と (O,E)(O,E) に対して、CC（および EE）は (O,D)(O,D) に対して仲介点となる。これら3点を VV に加えてもバランスは保たれ、大きさは 33 増えるので、∣V∪{C,D,E}∣=2k+4|V\cup\{C,D,E\}|=2k+4 はすべての偶数 ≥4\ge4 を動く。奇数の場合と合わせて、(a) はすべての n≥3n\ge3 について証明された。