第1問

$n$ が奇数のとき、正 $n$ 角形の頂点を $A_1,\dots,A_n$ とラベル付けする。任意の $i\ne j$ に対して、$\gcd(2,n)=1$ であることから $2k\equiv i+j\pmod n$ を満たす $k\in\{1,\dots,n\}$ がただ一つ存在し、このとき $k-i\equiv j-k\pmod n$ により $A_k$ は $A_iA_j$ の垂直二等分線上にある、すなわち $A_iA_k=A_jA_k$ となる。よって正 $n$ 角形はバランスが取れている。さらに中心を持たない：もしある $P$ が三つの異なる頂点 $A,B,C$ に対して $PA=PB=PC$ を満たすなら、$P$ は多角形の外心でなければならないが、それは頂点 $A_1,\dots,A_n$ のいずれでもない。