第2問

$a=1$ なら $ab-c=b-c\le0$ となり、$ab-c=2^m\ge1$ に矛盾するので、$a>1$ である。$b\le c$ かつ $a\ge2$ だから、$2^n=ac-b\ge(a-1)c\ge2$ でもあり、$n\ge1$ である。$a=b\ge3$ と仮定する。このとき $ac-b=a(c-1)=2^n$ なので、$a$ と $c-1$ はともに $2$ のべきであり、特に $a$ は偶数、$c$ は奇数である。したがって $ab-c=a^2-c$ は奇数で、$a^2-c=1$、よって $c+1=a^2$ も $2$ のべきである。しかし $c-1$ と $c+1$ は差が $2$ の二つの $2$ のべきである。これらを $2^r$、$2^s$ と書くと $2^r+2=2^s$ であり、$r=1$、$c=3$ が強制される。すると $a\le c$ から $a=3$ となり、$a$ が偶数であることに矛盾する。したがって $a\ge3$ なら $a<b$ である。